Раздел 1
Почему фьючерсы VIX почти всегда находятся в контанго?
Индекс волатильности VIX (Cboe Volatility Index) рассчитывается на основе цен опционов на индекс S&P 500 и отражает ожидаемую рынком 30-дневную волатильность.
В отличие от сырьевых товаров (нефти или золота), фьючерсы на VIX нельзя купить и физически положить на склад. Срочная структура фьючерсов VIX определяется не стоимостью хранения, а премией за риск волатильности (Variance Risk Premium, VRP).
Главный закон рынка опционов
Институциональные портфельные управляющие систематически покупают опционы пут (Put) на S&P 500 для хеджирования от катастрофических падений. За эту «страховку» покупатели стабильно переплачивают премию маркет-мейкерам. В результате предполагаемая волатильность (Implied Volatility) в опционах и дальних фьючерсах в 68.5% торговых дней превышает текущую волатильность спот-индекса.
Состояние, когда каждый следующий по сроку контракт торгуется дороже предыдущего ($F_1 < F_2 < F_3 \dots$), называется Контанго. В нашем датасете за 22 года (2004–2026) из 5 647 дней контанго наблюдалось ровно 3 867 сессий.
Раздел 2
Математический метод: стохастический процесс Орнштейна — Уленбека
Почему линейная модель ($F = \alpha + \beta \cdot m$) ошибочна для описания кривой VIX? Потому что волатильность обладает фундаментальным свойством возврата к долгосрочному среднему (Mean Reversion). Волатильность не может бесконечно расти или падать до нуля.
В финансовой математике такой процесс моделируется дифференциальным уравнением Орнштейна — Уленбека:
dV_t = k · (V_∞ - V_t) dt + σ dW_t
где:
- V_∞ — долгосрочный равновесный уровень волатильности;
- k — скорость затухания шоков во времени;
- V_t — текущий уровень спот-индекса в момент времени t.
Решая это дифференциальное уравнение для математического ожидания цены фьючерса со сроком экспирации через $m$ месяцев при начальном значении $\text{Spot}$, мы получаем точную аналитическую формулу:
F(m) = V_∞ - (V_∞ - Spot) · e^(-k · m)
Раздел 3
Калибровка на истории CBOE (2004–2026) и параметры
Мы провели нелинейную оптимизацию методом наименьших квадратов (Levenberg-Marquardt) по всем 3 867 торговым дням контанго за всю историю обращения фьючерсов VIX на бирже CBOE.
Калибровка дала следующие строгие параметры:
Равновесный уровень
V_∞ = 22.814 п.
Долгосрочная асимптота рынка акций США за 22 года.
Скорость затухания
k = 0.2601 / мес.
Период полураспада шока T_½ = ln(2)/k ≈ 2.66 месяца.
Коэффициент детерминации
R² = 99.51%
Подгонка к средней кривой дней контанго; на отдельных днях точность ниже.
Робастная медианная модель: для защиты от искажений редкими экстремальными кризисами (2008 г., 2020 г.) параллельно откалибрована медианная кривая:
F_med(m) = 22.631 - (22.631 - Spot) · e^(-0.2131 · m) [R² = 98.56%]
Раздел 4
Практический способ поиска арбитража и торговых неэффективностей
Как профессиональные кванты используют эту модель для генерации альфы? Алгоритм состоит из 4 последовательных шагов:
-
Шаг 1. Расчёт справедливой цены: Берём текущее значение Spot VIX (например, 15.00) и по формуле находим теоретические цены всех 8 контрактов $F_1^{\text{fair}} \dots F_8^{\text{fair}}$.
-
Шаг 2. Вычисление спреда неэффективности (Mispricing Spread):
Δ_m = F_m(рынок) - F_m(модель)
-
Шаг 3. Статистическая стандартизация (Z-Score): Делим отклонение на историческое стандартное отклонение спреда этого тенора $\sigma_m$:
Z_m = Δ_m / σ_m
-
Шаг 4. Исполнение торгового сигнала:
- Z ≥ +1.50σ (OVERPRICED): Контракт неоправданно дорог. Сигнал: продажа фьючерса (Short) либо продажа календарного спреда (Short $F_m$ / Long $F_{m-1}$).
- Z ≤ -1.50σ (UNDERPRICED): Контракт неоправданно дешев. Сигнал: покупка фьючерса (Long) либо покупка календарного спреда (Long $F_m$ / Short $F_{m+1}$).
- |Z| < 1.50σ: Котировка находится в полосе справедливой стоимости.
Раздел 5
Торговля календарными спредами и монетизация Roll Decay
В режиме контанго фьючерсы с каждым днём приближения к экспирации «скатываются» вниз по кривой к споту (явление Roll Decay).
Например, при ближнем спреде M1-M2 около $+1.50$ пункта, короткая позиция по 1-му фьючерсу приносит в среднем от +5% до +10% доходности в месяц за счёт естественного временного распада.
Критическое правило риск-менеджмента
Никогда не шортите волатильность вслепую! При наступлении кризисов (как в 2008, 2020 годах или августе 2024 г.) кривая мгновенно переворачивается в бэквордацию (инверсию), когда ближние контракты взлетают на десятки пунктов выше дальних. Наша система отслеживает критерий контанго ($\text{Spot} < F_1 < F_2$) и подаёт сигнал немедленного выхода из шортовых позиций при инверсии.
Section 1
Why are VIX futures almost always in contango?
The VIX (Cboe Volatility Index) is calculated from S&P 500 index option prices and reflects the market's expected 30-day volatility.
Unlike commodities (oil or gold), VIX futures cannot be bought and physically stored in a warehouse. The VIX futures term structure is driven not by storage costs but by the volatility risk premium (Variance Risk Premium, VRP).
The fundamental law of the options market
Institutional portfolio managers systematically buy S&P 500 put options to hedge against catastrophic drawdowns. Buyers consistently overpay market makers for this "insurance". As a result, implied volatility in options and longer-dated futures exceeds the current spot index volatility on 68.5% of trading days.
The state in which each successive contract trades higher than the previous one ($F_1 < F_2 < F_3 \dots$) is called contango. In our 22-year dataset (2004–2026), contango was observed in exactly 3,867 of 5,647 sessions.
Section 2
Mathematical method: the Ornstein–Uhlenbeck stochastic process
Why is a linear model ($F = \alpha + \beta \cdot m$) wrong for describing the VIX curve? Because volatility has a fundamental property of reverting to its long-term average (Mean Reversion). Volatility cannot rise forever or fall to zero.
In financial mathematics, such a process is modeled by the Ornstein–Uhlenbeck differential equation:
dV_t = k · (V_∞ - V_t) dt + σ dW_t
where:
- V_∞ — the long-term equilibrium level of volatility;
- k — the speed at which shocks decay over time;
- V_t — the current spot index level at time t.
Solving this differential equation for the expected price of a future expiring in $m$ months, starting from $\text{Spot}$, gives an exact analytical formula:
F(m) = V_∞ - (V_∞ - Spot) · e^(-k · m)
Section 3
Calibration on CBOE history (2004–2026) and parameters
We ran a nonlinear least-squares optimization (Levenberg-Marquardt) across all 3,867 contango trading days in the entire history of VIX futures trading on the CBOE.
The calibration produced the following parameters:
Equilibrium level
V_∞ = 22.814 pts
Long-term asymptote of the US equity market over 22 years.
Decay speed
k = 0.2601 / mo
Shock half-life T_½ = ln(2)/k ≈ 2.66 months.
Coefficient of determination
R² = 99.51%
Fit to the average contango curve; accuracy on individual days is lower.
Robust median model: to guard against distortion from rare extreme crises (2008, 2020), a median curve was calibrated in parallel:
F_med(m) = 22.631 - (22.631 - Spot) · e^(-0.2131 · m) [R² = 98.56%]
Section 4
A practical way to find arbitrage and trading inefficiencies
How do professional quants use this model to generate alpha? The algorithm consists of 4 sequential steps:
-
Step 1. Compute the fair value: Take the current Spot VIX value (e.g. 15.00) and use the formula to find the theoretical prices of all 8 contracts $F_1^{\text{fair}} \dots F_8^{\text{fair}}$.
-
Step 2. Compute the mispricing spread:
Δ_m = F_m(market) - F_m(model)
-
Step 3. Statistical standardization (Z-Score): Divide the deviation by the historical standard deviation of that tenor's spread $\sigma_m$:
Z_m = Δ_m / σ_m
-
Step 4. Execute the trading signal:
- Z ≥ +1.50σ (OVERPRICED): The contract is unjustifiably expensive. Signal: sell the future (Short) or sell the calendar spread (Short $F_m$ / Long $F_{m-1}$).
- Z ≤ -1.50σ (UNDERPRICED): The contract is unjustifiably cheap. Signal: buy the future (Long) or buy the calendar spread (Long $F_m$ / Short $F_{m+1}$).
- |Z| < 1.50σ: The quote is within the fair value band.
Section 5
Trading calendar spreads and monetizing Roll Decay
In contango, futures "roll down" the curve toward spot every day as they approach expiration (the Roll Decay effect).
For example, with the front M1-M2 spread at around $+1.50$ points, a short position in the 1st-month future earns on average +5% to +10% per month from natural time decay.
Critical risk-management rule
Never short volatility blindly! When a crisis hits (as in 2008, 2020 or August 2024), the curve instantly flips into backwardation (inversion), with front contracts spiking tens of points above the back months. Our system tracks the contango criterion ($\text{Spot} < F_1 < F_2$) and signals an immediate exit from short positions on inversion.